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原文筆記

子环、理想与商环

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1. 课程总览：群论与环论的类比

环论的学习可以类比群论。通过对比，我们可以更直观地理解新概念。

群论概念 (Group Theory)环论对应概念 (Ring Theory)备注
子群 (Subgroup)子环 (Subring)性质相似
正规子群 (Normal Subgroup)理想 (Ideal)都在构建商结构时起关键作用
商群 (Quotient Group)商环 (Quotient Ring)由理想对应的陪集构成的环

2. 子环 (Subring)

2.1 定义与基本性质

设 (R,+,⋅)(R, +, \cdot) 是一个环，S⊆RS \subseteq R 是其子集。 如果 SS 在 RR 原有的加法和乘法运算下依然构成一个环，则称 SS 是 RR 的子环，记为 S≤RS \le R。

  • 性质：如果 RR 是交换环，则子环 SS 也是交换环。
  • 注意（与群论的区别）：
    • 群论中，子群的单位元一定等于大群的单位元。
    • 环论中，子环的单位元可能与大环不同，甚至可能没有单位元。
    • 例：2Z2\mathbb{Z} 是 Z\mathbb{Z} 的子环，但无单位元；Z⊕{0}\mathbb{Z} \oplus \{0\} 是 Z⊕Z\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} 的子环，单位元不同。

3. 理想 (Ideal)

3.1 定义：左理想、右理想与双侧理想

在非交换环中，乘法有左右之分，因此必须严格区分乘法的“吸收”方向。

设 II 是环 RR 的一个子环（首先它是加法子群）：

  1. 左理想 (Left Ideal)： 对任意 r∈R,x∈Ir \in R, x \in I，都有 rx∈Irx \in I。（RR 中的元素从左边乘进去，结果仍在 II 中）。
  2. 右理想 (Right Ideal)： 对任意 r∈R,x∈Ir \in R, x \in I，都有 xr∈Ixr \in I。（RR 中的元素从右边乘进去，结果仍在 II 中）。
  3. 理想 (Ideal / Two-sided Ideal)： 如果 II 既是左理想又是右理想，称 II 为理想，记为 I◃RI \triangleleft R。

注：若 RR 是交换环，则 rx=xrrx = xr，此时左理想、右理想、理想是等价概念。

3.2 补充案例分析（例 3.2.1 详解）

这是一个经典的非交换环例子，老师课堂上略过了一部分，这里补充完整。

例 3.2.1：全矩阵环 M(n,R)M(n, \mathbb{R}) 只有平凡理想（即 {0}\{0\} 和 RR 本身）。这种只有平凡理想的环称为单环 (Simple Ring)。 但是，它拥有非平凡的左理想或右理想。

证明部分（单环性质）： 设 II 是 M(n,R)M(n, \mathbb{R}) 的一个非零理想。我们要证明 I=M(n,R)I = M(n, \mathbb{R})。

  1. 因为 I≠{0}I \neq \{0\}，所以存在非零矩阵 A∈IA \in I。记 A=(aij)A = (a_{ij})。
  2. 既然 A≠0A \neq 0，至少存在一个元素 ai0j0≠0a_{i_0 j_0} \neq 0。
  3. 利用矩阵单位 EpqE_{pq}（第 pp 行第 qq 列为 1，其余为 0 的矩阵）。我们构造运算： Eii0AEj0jE_{i i_0} A E_{j_0 j} 这个运算的效果是将 AA 的第 i0i_0 行移到第 ii 行，第 j0j_0 列移到第 jj 列，并把其他元素“切除”。结果仅在 (i,j)(i, j) 位置留下 ai0j0a_{i_0 j_0}。即： Eii0AEj0j=ai0j0EijE_{i i_0} A E_{j_0 j} = a_{i_0 j_0} E_{ij}
  4. 因为 II 是理想，且 Eii0,Ej0j∈RE_{i i_0}, E_{j_0 j} \in R，根据吸收律，上式结果必须在 II 中。 即 ai0j0Eij∈Ia_{i_0 j_0} E_{ij} \in I。
  5. 因为 ai0j0a_{i_0 j_0} 是非零实数，其逆元存在。利用理想性质再次乘以标量（或对角阵）： Eij=1ai0j0(ai0j0Eij)∈IE_{ij} = \frac{1}{a_{i_0 j_0}} (a_{i_0 j_0} E_{ij}) \in I
  6. 这意味着所有基本矩阵单位 EijE_{ij} 都在 II 中。由于任意矩阵 MM 都是 EijE_{ij} 的线性组合，所以整个环 M(n,R)⊆IM(n, \mathbb{R}) \subseteq I。
  7. 故 I=M(n,R)I = M(n, \mathbb{R})。证毕。

作业补充（非平凡的左/右理想）：

  • 左理想例子：所有第 kk 列全为 0 的矩阵集合 LL。
    • 验证：设 B∈LB \in L，即 BB 的第 kk 列为 0。设 AA 是任意矩阵。
    • 考虑乘积 C=ABC = AB。CC 的第 kk 列元素为 cik=∑jaijbjkc_{ik} = \sum_j a_{ij} b_{jk}。
    • 因为 bjk=0b_{jk} = 0（对所有 jj），所以 cik=0c_{ik} = 0。
    • 即 ABAB 的第 kk 列也是 0，所以 AB∈LAB \in L。
    • 所以 LL 是左理想。但它不是右理想（右乘一个矩阵可以将其他列的数据加到第 kk 列）。

4. 由子集生成的理想 (Generated Ideals)

4.1 定义与交集性质

定义 3.2.4：设 S⊆RS \subseteq R（或记为 M⊆RM \subseteq R）。包含 SS 的最小的理想称为由 SS 生成的理想，记为 <S><S> 或 <M><M>。 如果 <M><M> 可以由有限集生成，称该理想是有限生成的。如果由一个元素生成，称为主理想。

命题 3.2.6（构造性定义）： <M>=⋂M⊆H◃RH< M > = \bigcap_{M \subseteq H \triangleleft R} H 即：所有包含 MM 的理想的交集。特别地，如果 MM 本身就是理想，则 <M>=M<M> = M。

4.2 生成理想的元素形式（公式解析）

根据环的不同性质（是否有单位元、是否交换），生成理想中元素的具体样子是不同的。这是因为我们需要通过“补丁”来强行满足理想的定义（加法封闭、左右乘封闭）。

情况 1：最一般的环（非交换、无单位元）

<M>={∑finite(aimi+rjmj′+mk′′rk′+rt′′mt′′′rt′′′)  |  a∈Z (整数倍),m∈M,r∈R}< M > = \left\{ \sum_{\text{finite}} (a_i m_i + r_j m_j' + m_k'' r_k' + r_t'' m_t''' r_t''') \;\middle|\; \begin{aligned} &a \in \mathbb{Z} \text{ (整数倍)}, \\ &m \in M, r \in R \end{aligned} \right\}
  • 解读：
    • aimia_i m_i：保证它是加法子群（整数倍）。
    • rjmj′r_j m_j'：保证左吸收律（左乘）。
    • mk′′rk′m_k'' r_k'：保证右吸收律（右乘）。
    • rmrr m r：保证双侧乘积。
    • 这四种形式的有限和，是包含 MM 且满足理想定义的最小集合。

情况 2：交换环 (Commutative Ring) 由于 rm=mrrm = mr，左右乘不分家。

<M>={∑finiterimiri′  |  r,r′∈R,m∈M}=RMR< M > = \left\{ \sum_{\text{finite}} r_i m_i r_i' \;\middle|\; r, r' \in R, m \in M \right\} = RMR

(注：如果环没有单位元，可能还需要加上整数倍项 nmn m)

情况 3：有单位元的交换环 (Commutative Ring with Unity) 这是最常见的情况。因为有单位元 11，整数倍 nmn m 可以写成 (n⋅1)m(n \cdot 1)m，被 rmrm 形式覆盖。

<M>={∑finiterimi  |  ri∈R,mi∈M}=RM< M > = \left\{ \sum_{\text{finite}} r_i m_i \;\middle|\; r_i \in R, m_i \in M \right\} = RM

特别地，对于主理想 <a>< a >，就是 Ra={ra∣r∈R}Ra = \{ra \mid r \in R\}。

5. 理想的运算

设 I,JI, J 是环 RR 的两个理想。

5.1 交集 I∩JI \cap J

命题：I∩JI \cap J 是一个理想。 证明：

  1. 子群判定：若 a,b∈I∩Ja, b \in I \cap J，则 a,b∈Ia, b \in I 且 a,b∈Ja, b \in J。因 I,JI, J 是加法群，故 a−b∈Ia-b \in I 且 a−b∈Ja-b \in J，即 a−b∈I∩Ja-b \in I \cap J。
  2. 吸收律：设 x∈I∩J,r∈Rx \in I \cap J, r \in R。
    • x∈I  ⟹  rx∈Ix \in I \implies rx \in I 且 xr∈Ixr \in I（因 II 是理想）。
    • x∈J  ⟹  rx∈Jx \in J \implies rx \in J 且 xr∈Jxr \in J（因 JJ 是理想）。
    • 所以 rx,xr∈I∩Jrx, xr \in I \cap J。
    • 结论：I∩JI \cap J 是理想。

5.2 和 I+JI + J

定义：I+J={a+b∣a∈I,b∈J}I + J = \{ a + b \mid a \in I, b \in J \}。 命题：I+JI + J 是一个理想。 证明：

  1. 子群判定：设 x=a1+b1,y=a2+b2∈I+Jx = a_1 + b_1, y = a_2 + b_2 \in I+J。 x−y=(a1−a2)+(b1−b2)x - y = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)。由于 I,JI, J 是子群，(a1−a2)∈I,(b1−b2)∈J(a_1 - a_2) \in I, (b_1 - b_2) \in J。故差仍在 I+JI+J 中。
  2. 吸收律：设 x=a+b∈I+Jx = a + b \in I+J，r∈Rr \in R。 rx=r(a+b)=ra+rbrx = r(a + b) = ra + rb。 因 II 是理想   ⟹  ra∈I\implies ra \in I。因 JJ 是理想   ⟹  rb∈J\implies rb \in J。 所以 rx∈I+Jrx \in I + J。右乘同理。
    • 结论：I+JI + J 是理想（且是包含 II 和 JJ 的最小理想）。

5.3 积 IJIJ

定义：IJ={∑k=1nakbk∣ak∈I,bk∈J,n∈N}IJ = \{ \sum_{k=1}^n a_k b_k \mid a_k \in I, b_k \in J, n \in \mathbb{N} \}（注意是有限和形式）。 命题：IJIJ 是一个理想。 证明：

  1. 子群判定：由定义知，IJIJ 对加法和减法封闭（因为它是有限和的集合）。
  2. 吸收律：只需对单个项 abab 验证，有限和自然满足。 设 x=abx = ab，其中 a∈I,b∈Ja \in I, b \in J。设 r∈Rr \in R。
    • rx=r(ab)=(ra)br x = r (ab) = (ra) b。因为 II 是左理想，ra∈Ira \in I。所以 (ra)b(ra)b 仍是形如 "(I中元素)(J中元素)" 的形式，属于 IJIJ。
    • xr=(ab)r=a(br)x r = (ab) r = a (br)。因为 JJ 是右理想，br∈Jbr \in J。所以 a(br)a(br) 仍属于 IJIJ。
    • 结论：IJIJ 是理想。
    • 注意：一般情况下 IJ⊆I∩JIJ \subseteq I \cap J。

6. 商环 (Quotient Ring)

6.1 构造与良定性

我们需要 II 是理想（而不仅仅是子环），是为了保证商环上的乘法运算是良定 (well-defined) 的。

  • 集合：R/I={r+I∣r∈R}R/I = \{ r + I \mid r \in R \}（陪集）。
  • 加法：(a+I)+(b+I)=(a+b)+I(a + I) + (b + I) = (a + b) + I。
  • 乘法：(a+I)(b+I)=ab+I(a + I)(b + I) = ab + I。

乘法良定性证明： 若 a′∈a+I,b′∈b+Ia' \in a+I, b' \in b+I，设 a′=a+x,b′=b+ya' = a+x, b'=b+y (x,y∈Ix, y \in I)。 a′b′=(a+x)(b+y)=ab+ay⏟∈I(左吸)+xb⏟∈I(右吸)+xy⏟∈I(封闭)a'b' = (a+x)(b+y) = ab + \underbrace{ay}_{\in I (\text{左吸})} + \underbrace{xb}_{\in I (\text{右吸})} + \underbrace{xy}_{\in I (\text{封闭})} 差值在 II 中，故代表元选取不影响结果。

6.2 商环的性质传承

商环 R/IR/I 会继承原环 RR 的部分优良性质：

  1. 交换性：如果 RR 是交换环，则 R/IR/I 也是交换环。
    • 理由：(a+I)(b+I)=ab+I=ba+I=(b+I)(a+I)(a+I)(b+I) = ab+I = ba+I = (b+I)(a+I)。
  2. 单位元：如果 RR 是幺环（有单位元 11），则 R/IR/I 也是幺环。
    • 单位元形式：1+I1 + I。
    • 验证：(a+I)(1+I)=a⋅1+I=a+I(a+I)(1+I) = a \cdot 1 + I = a + I。