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本課程筆記數學 · 4 篇
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12-9 作业

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P268 例题讲解

题目：例 14.2.1

计算积分：I=∫Ly2 dx+x2 dyI = \int_L y^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}y其中 LL 分为两种情况：

  1. 路径 L1L_1：圆周 x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2 的上半部分，方向为逆时针方向（从点 A(R,0)A(R, 0) 到点 B(−R,0)B(-R, 0)）。
  2. 路径 L2L_2：从点 M(R,0)M(R, 0) 到点 N(−R,0)N(-R, 0) 的直线段。

详细解答

我们分别计算这两条路径下的积分值，以此来观察积分结果是否与路径有关。

情形 1：沿上半圆周 L1L_1 积分

  1. 建立参数方程 对于圆心在原点的圆，最常用的参数是极坐标角度 θ\theta。
    • x=Rcos⁡θx = R \cos \theta
    • y=Rsin⁡θy = R \sin \theta 由于是上半圆，且方向是逆时针（从右向左），角度 θ\theta 的变化范围是从 00 到 π\pi。
    • 起点 (R,0)(R, 0) 对应 θ=0\theta = 0。
    • 终点 (−R,0)(-R, 0) 对应 θ=π\theta = \pi。
  2. 计算微分项 我们需要把 dx\mathrm{d}x 和 dy\mathrm{d}y 也换成关于 θ\theta 的表达式：
    • dx=(Rcos⁡θ)′ dθ=−Rsin⁡θ dθ\mathrm{d}x = (R \cos \theta)' \, \mathrm{d}\theta = -R \sin \theta \, \mathrm{d}\theta
    • dy=(Rsin⁡θ)′ dθ=Rcos⁡θ dθ\mathrm{d}y = (R \sin \theta)' \, \mathrm{d}\theta = R \cos \theta \, \mathrm{d}\theta
  3. 代入积分式 将 x,y,dx,dyx, y, \mathrm{d}x, \mathrm{d}y 全部代入原式：I1=∫0π[(Rsin⁡θ)2⏟y2⋅(−Rsin⁡θ)⏟dx/dθ+(Rcos⁡θ)2⏟x2⋅(Rcos⁡θ)⏟dy/dθ]dθ=∫0π[−R3sin⁡3θ+R3cos⁡3θ]dθ=R3(−∫0πsin⁡3θ dθ+∫0πcos⁡3θ dθ)\begin{aligned} I_1 &= \int_0^\pi \left[ \underbrace{(R \sin \theta)^2}_{y^2} \cdot \underbrace{(-R \sin \theta)}_{dx/\mathrm{d}\theta} + \underbrace{(R \cos \theta)^2}_{x^2} \cdot \underbrace{(R \cos \theta)}_{dy/\mathrm{d}\theta} \right] \mathrm{d}\theta \\ &= \int_0^\pi \left[ -R^3 \sin^3 \theta + R^3 \cos^3 \theta \right] \mathrm{d}\theta \\ &= R^3 \left( - \int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta + \int_0^\pi \cos^3 \theta \, \mathrm{d}\theta \right) \end{aligned}
  4. 计算定积分 我们分别计算这两个三角函数的积分：
    • 第一部分：∫0πsin⁡3θ dθ\int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta 利用公式 sin⁡3θ=(1−cos⁡2θ)sin⁡θ\sin^3 \theta = (1-\cos^2 \theta)\sin \theta，令 u=cos⁡θu = \cos \theta，则 du=−sin⁡θdθ\mathrm{d}u = -\sin \theta \mathrm{d}\theta。 或者直接使用瓦里斯公式 (Wallis Formula) 的推广（注意区间是 00 到 π\pi，是对称的）： ∫0πsin⁡3θ dθ=2∫0π/2sin⁡3θ dθ=2×23=43\int_0^\pi \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}。
    • 第二部分：∫0πcos⁡3θ dθ\int_0^\pi \cos^3 \theta \, \mathrm{d}\theta 观察 cos⁡3θ\cos^3 \theta 的图像，在 [0,π][0, \pi] 上，cos⁡θ\cos \theta 关于 π/2\pi/2 中心对称（第一象限为正，第二象限为负，且绝对值相等）。 因此，积分值为 0。

    合并结果：I1=R3(−43+0)=−43R3I_1 = R^3 \left( - \frac{4}{3} + 0 \right) = -\frac{4}{3}R^3

情形 2：沿直线段 L2L_2 积分

  1. 建立参数方程 路径是在 xx 轴上，从 (R,0)(R, 0) 走到 (−R,0)(-R, 0)。
    • y=0y = 0 （恒成立）
    • xx 从 RR 变到 −R-R。
  2. 计算微分项
    • 由于 y=0y = 0 是常数，所以 dy=0\mathrm{d}y = 0。
    • dx\mathrm{d}x 保持为 dx\mathrm{d}x。
  3. 代入积分式I2=∫Ly2 dx+x2 dyI_2 = \int_L y^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}y 代入 y=0y=0 和 dy=0\mathrm{d}y=0： I2=∫R−R(0)2 dx+x2⋅(0)=∫R−R0 dx=0I_2 = \int_R^{-R} (0)^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \cdot (0) = \int_R^{-R} 0 \, \mathrm{d}x = 0

结论：

  • 沿上半圆周积分结果为 −43R3-\frac{4}{3}R^3。
  • 沿直线段积分结果为 00。
  • 注：这也说明了该积分与路径有关。

题目：例 14.2.2

求空间中一质量为 mm 的物体沿某一光滑曲线 LL 从 AA 点移动到 BB 点时，重力所做的功。 （假设 zz 轴竖直向上，重力方向向下）

详细解答

这是一道物理应用题，实际上是考查第二类曲线积分的物理意义。

  1. 分析力的向量 重力 F\mathbf{F} 的大小是 mgmg，方向指向 zz 轴负方向。 写成向量坐标形式： F=(Fx,Fy,Fz)=(0,0,−mg)\mathbf{F} = (F_x, F_y, F_z) = (0, 0, -mg)
  2. 建立功的积分表达式 功 WW 是力在路径上的线积分： W=∫LF⋅dr=∫LFx dx+Fy dy+Fz dzW = \int_L \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \int_L F_x \, \mathrm{d}x + F_y \, \mathrm{d}y + F_z \, \mathrm{d}z 代入力的分量： W=∫L0⋅dx+0⋅dy+(−mg) dz=∫L−mg dzW = \int_L 0 \cdot \mathrm{d}x + 0 \cdot \mathrm{d}y + (-mg) \, \mathrm{d}z = \int_L -mg \, \mathrm{d}z
  3. 计算积分 设起点 AA 的坐标为 (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1)，终点 BB 的坐标为 (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2)。 积分变量仅剩下 zz，这变成了一个简单的定积分： W=−mg∫z1z2dzW = -mg \int_{z_1}^{z_2} \mathrm{d}zW=−mg[z]z1z2=−mg(z2−z1)W = -mg [z]_{z_1}^{z_2} = -mg(z_2 - z_1) 或者写作： W=mg(z1−z2)W = mg(z_1 - z_2)

物理意义解读： 这说明重力做功只与起点和终点的高度差有关，与具体的移动路径无关（因为重力场是保守场）。如果 z1>z2z_1 > z_2（物体下降），功为正；如果 z2>z1z_2 > z_1（物体上升），功为负。

题目：例 14.2.3

计算积分：I=∫L(y2−z2) dx+(z2−x2) dy+(x2−y2) dzI = \int_L (y^2 - z^2) \, \mathrm{d}x + (z^2 - x^2) \, \mathrm{d}y + (x^2 - y^2) \, \mathrm{d}z其中 LL 为球面 x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1 在第一象限部分的边界，当从球面外侧看时为顺时针方向。

详细解答

1. 分析路径 LL 题目描述的曲线 LL 是第一象限球面（即 1/81/8 球面）的边界线。这个边界由三段位于坐标平面上的圆弧组成。 为了符合“从球面外侧看顺时针”的描述，我们可以画个图想象一下：

  • 我们站在第一象限的球面上方往原点看。
  • 路径顺次经过三个点：A(1,0,0)→B(0,1,0)→C(0,0,1)→A(1,0,0)A(1,0,0) \to B(0,1,0) \to C(0,0,1) \to A(1,0,0)。
    • L1L_1 (在 xyxy 平面)：从 A(1,0,0)A(1,0,0) 到 B(0,1,0)B(0,1,0)。
    • L2L_2 (在 yzyz 平面)：从 B(0,1,0)B(0,1,0) 到 C(0,0,1)C(0,0,1)。
    • L3L_3 (在 zxzx 平面)：从 C(0,0,1)C(0,0,1) 到 A(1,0,0)A(1,0,0)。

我们将积分分成三部分计算：I=I1+I2+I3I = I_1 + I_2 + I_3。

2. 分段计算

第一段 L1L_1：在 xyxy 平面上

  • 条件：z=0z = 0，因此 dz=0\mathrm{d}z = 0。
  • 方程：x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 (第一象限弧)。
  • 原积分简化：代入 z=0,dz=0z=0, \mathrm{d}z=0： I1=∫L1(y2−0) dx+(0−x2) dy+0=∫L1y2 dx−x2 dyI_1 = \int_{L_1} (y^2 - 0) \, \mathrm{d}x + (0 - x^2) \, \mathrm{d}y + 0 = \int_{L_1} y^2 \, \mathrm{d}x - x^2 \, \mathrm{d}y
  • 参数化： 令 x=cos⁡t,y=sin⁡tx = \cos t, y = \sin t。 tt 从 00 (点 A) 走到 π2\frac{\pi}{2} (点 B)。 dx=−sin⁡t dt\mathrm{d}x = -\sin t \, \mathrm{d}tdy=cos⁡t dt\mathrm{d}y = \cos t \, \mathrm{d}t
  • 代入计算： I1=∫0π/2[(sin⁡2t)(−sin⁡t)−(cos⁡2t)(cos⁡t)] dt=−∫0π/2(sin⁡3t+cos⁡3t) dt\begin{aligned} I_1 &= \int_0^{\pi/2} [ (\sin^2 t)(-\sin t) - (\cos^2 t)(\cos t) ] \, \mathrm{d}t \\ &= - \int_0^{\pi/2} (\sin^3 t + \cos^3 t) \, \mathrm{d}t \end{aligned} 利用公式 ∫0π/2sin⁡nxdx=∫0π/2cos⁡nxdx\int_0^{\pi/2} \sin^n x dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx，当 n=3n=3 时，值为 23\frac{2}{3}。 I1=−(23+23)=−43I_1 = - (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}

第二段 L2L_2：在 yzyz 平面上

  • 条件：x=0x = 0，因此 dx=0\mathrm{d}x = 0。
  • 方程：y2+z2=1y^2 + z^2 = 1。
  • 原积分简化：代入 x=0,dx=0x=0, \mathrm{d}x=0： I2=∫L20+(z2−0) dy+(0−y2) dz=∫L2z2 dy−y2 dzI_2 = \int_{L_2} 0 + (z^2 - 0) \, \mathrm{d}y + (0 - y^2) \, \mathrm{d}z = \int_{L_2} z^2 \, \mathrm{d}y - y^2 \, \mathrm{d}z
  • 观察对称性： 这里的形式 z2dy−y2dzz^2 \mathrm{d}y - y^2 \mathrm{d}z 与 L1L_1 中的 y2dx−x2dyy^2 \mathrm{d}x - x^2 \mathrm{d}y 结构完全一致，只是变量轮换了 (x→y,y→zx \to y, y \to z)。 路径也是从轴上的 11 到轴上的 11 的四分之一圆弧。 因此，计算结果应当相同。 I2=−43I_2 = -\frac{4}{3}

第三段 L3L_3：在 zxzx 平面上

  • 条件：y=0y = 0，因此 dy=0\mathrm{d}y = 0。
  • 方程：z2+x2=1z^2 + x^2 = 1。
  • 原积分简化： I3=∫L3(0−z2) dx+0+(x2−0) dz=∫L3−z2 dx+x2 dzI_3 = \int_{L_3} (0 - z^2) \, \mathrm{d}x + 0 + (x^2 - 0) \, \mathrm{d}z = \int_{L_3} -z^2 \, \mathrm{d}x + x^2 \, \mathrm{d}z
  • 注意符号：这里是 −z2dx+x2dz-z^2 \mathrm{d}x + x^2 \mathrm{d}z。 对比 L1L_1 的 y2dx−x2dyy^2 \mathrm{d}x - x^2 \mathrm{d}y。 这稍微有点不同（符号反了或者项的顺序变了）。让我们仔细参数化算一下以防万一。
  • 参数化： z=cos⁡t,x=sin⁡tz = \cos t, x = \sin t （注意：是从 C(0,0,1)C(0,0,1) 到 A(1,0,0)A(1,0,0)）。 起点 CC: t=0t=0 (z=1,x=0z=1, x=0)。 终点 AA: t=π/2t=\pi/2 (z=0,x=1z=0, x=1)。 dz=−sin⁡t dt\mathrm{d}z = -\sin t \, \mathrm{d}tdx=cos⁡t dt\mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t
  • 代入： I3=∫0π/2[−(cos⁡2t)(cos⁡t)+(sin⁡2t)(−sin⁡t)] dt=∫0π/2[−cos⁡3t−sin⁡3t] dt=−(23+23)=−43\begin{aligned} I_3 &= \int_0^{\pi/2} [ -(\cos^2 t)(\cos t) + (\sin^2 t)(-\sin t) ] \, \mathrm{d}t \\ &= \int_0^{\pi/2} [ -\cos^3 t - \sin^3 t ] \, \mathrm{d}t \\ &= - (\frac{2}{3} + \frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} \end{aligned} 结果确实也是一样的。

3. 最终求和I=I1+I2+I3=(−43)+(−43)+(−43)=−4I = I_1 + I_2 + I_3 = (-\frac{4}{3}) + (-\frac{4}{3}) + (-\frac{4}{3}) = -4

P275 习题 1 讲解

题目 (1)

求积分：I=∫L(x2+y2) dx+(x2−y2) dyI = \int_L (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}x + (x^2 - y^2) \, \mathrm{d}y路径 LL：顶点为 A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1)A(1,0), B(2,0), C(2,1), D(1,1) 的正方形，方向为逆时针。

详细解答

正方形路径由四条直线段组成，我们必须分四段计算，然后相加。

(这里可以想象一个在第一象限的小正方形，底边在x轴上)

第 1 段 ABAB：从 (1,0)(1,0) 到 (2,0)(2,0)

  • 方程：y=0  ⟹  dy=0y = 0 \implies \mathrm{d}y = 0。
  • 范围：xx 从 11 到 22。
  • 代入： IAB=∫12(x2+0) dx+0=∫12x2 dxI_{AB} = \int_1^2 (x^2 + 0) \, \mathrm{d}x + 0 = \int_1^2 x^2 \, \mathrm{d}xIAB=[x33]12=83−13=73I_{AB} = [\frac{x^3}{3}]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

第 2 段 BCBC：从 (2,0)(2,0) 到 (2,1)(2,1)

  • 方程：x=2  ⟹  dx=0x = 2 \implies \mathrm{d}x = 0。
  • 范围：yy 从 00 到 11。
  • 代入： 注意 dx\mathrm{d}x 项消失。 IBC=∫01(22−y2) dy=∫01(4−y2) dyI_{BC} = \int_0^1 (2^2 - y^2) \, \mathrm{d}y = \int_0^1 (4 - y^2) \, \mathrm{d}yIBC=[4y−y33]01=4−13=113I_{BC} = [4y - \frac{y^3}{3}]_0^1 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}

第 3 段 CDCD：从 (2,1)(2,1) 到 (1,1)(1,1)

  • 方程：y=1  ⟹  dy=0y = 1 \implies \mathrm{d}y = 0。
  • 范围：xx 从 22 到 11 （注意方向！下限是2，上限是1）。
  • 代入： ICD=∫21(x2+12) dx=∫21(x2+1) dxI_{CD} = \int_2^1 (x^2 + 1^2) \, \mathrm{d}x = \int_2^1 (x^2 + 1) \, \mathrm{d}xICD=[x33+x]21=(13+1)−(83+2)I_{CD} = [\frac{x^3}{3} + x]_2^1 = (\frac{1}{3} + 1) - (\frac{8}{3} + 2)ICD=43−143=−103I_{CD} = \frac{4}{3} - \frac{14}{3} = -\frac{10}{3}

第 4 段 DADA：从 (1,1)(1,1) 到 (1,0)(1,0)

  • 方程：x=1  ⟹  dx=0x = 1 \implies \mathrm{d}x = 0。
  • 范围：yy 从 11 到 00。
  • 代入： IDA=∫10(12−y2) dy=∫10(1−y2) dyI_{DA} = \int_1^0 (1^2 - y^2) \, \mathrm{d}y = \int_1^0 (1 - y^2) \, \mathrm{d}yIDA=[y−y33]10=0−(1−13)=−23I_{DA} = [y - \frac{y^3}{3}]_1^0 = 0 - (1 - \frac{1}{3}) = -\frac{2}{3}

总和I=IAB+IBC+ICD+IDA=73+113−103−23I = I_{AB} + I_{BC} + I_{CD} + I_{DA} = \frac{7}{3} + \frac{11}{3} - \frac{10}{3} - \frac{2}{3}I=7+11−10−23=63=2I = \frac{7 + 11 - 10 - 2}{3} = \frac{6}{3} = 2

结果：2

(进阶验证：使用格林公式 ∬(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∬(2x−2y)dxdy\iint (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \iint (2x - 2y) dxdy，计算结果也是2。但初学阶段分段计算是基本功)

题目 (3)

求积分：I=∫L(x+y)dx−(x−y)dyx2+y2I = \int_L \frac{(x+y)\mathrm{d}x - (x-y)\mathrm{d}y}{x^2 + y^2}路径 LL：圆周 x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2，逆时针方向。

详细解答

看到 x2+y2x^2 + y^2，尤其是分母中出现，极坐标参数化是最佳选择。

  1. 参数方程x=acos⁡tx = a \cos ty=asin⁡ty = a \sin ttt 从 00 到 2π2\pi。
  2. 准备代入项
    • 分母：x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2
    • 微分： dx=−asin⁡t dt\mathrm{d}x = -a \sin t \, \mathrm{d}tdy=acos⁡t dt\mathrm{d}y = a \cos t \, \mathrm{d}t
    • 分子第一部分 (x+y)dx(x+y)\mathrm{d}x： =(acos⁡t+asin⁡t)(−asin⁡t) dt=−a2(sin⁡tcos⁡t+sin⁡2t) dt= (a \cos t + a \sin t)(-a \sin t) \, \mathrm{d}t = -a^2 (\sin t \cos t + \sin^2 t) \, \mathrm{d}t
    • 分子第二部分 −(x−y)dy-(x-y)\mathrm{d}y： =−(acos⁡t−asin⁡t)(acos⁡t) dt=−a2(cos⁡2t−sin⁡tcos⁡t) dt= -(a \cos t - a \sin t)(a \cos t) \, \mathrm{d}t = -a^2 (\cos^2 t - \sin t \cos t) \, \mathrm{d}t
  3. 合并分子 把上面两部分加起来：Numerator=−a2(sin⁡tcos⁡t+sin⁡2t)−a2(cos⁡2t−sin⁡tcos⁡t)\text{Numerator} = -a^2 (\sin t \cos t + \sin^2 t) - a^2 (\cos^2 t - \sin t \cos t)
    提取 −a2-a^2：=−a2(sin⁡tcos⁡t+sin⁡2t+cos⁡2t−sin⁡tcos⁡t)= -a^2 (\sin t \cos t + \sin^2 t + \cos^2 t - \sin t \cos t)
    中间的 sin⁡tcos⁡t\sin t \cos t 抵消了，sin⁡2t+cos⁡2t=1\sin^2 t + \cos^2 t = 1。=−a2(1)=−a2= -a^2 (1) = -a^2
  4. 代入积分I=∫02π−a2a2 dt=∫02π−1 dtI = \int_0^{2\pi} \frac{-a^2}{a^2} \, \mathrm{d}t = \int_0^{2\pi} -1 \, \mathrm{d}tI=−2πI = -2\pi

结果：−2π-2\pi

题目 (5)

求积分：∫Lx dx+y dy+(x+y−1) dz\int_L x \, \mathrm{d}x + y \, \mathrm{d}y + (x + y - 1) \, \mathrm{d}z路径 LL：从点 A(1,1,1)A(1,1,1) 到点 B(2,3,4)B(2,3,4) 的直线段。

详细解答

空间直线段积分，最标准的方法是使用向量式参数方程。

  1. 建立直线的参数方程 起点 A(1,1,1)A(1,1,1)，终点 B(2,3,4)B(2,3,4)。 方向向量 v⃗=B−A=(2−1,3−1,4−1)=(1,2,3)\vec{v} = B - A = (2-1, 3-1, 4-1) = (1, 2, 3)。 令参数 tt 从 00 到 11：
    • x=1+1⋅t=1+tx = 1 + 1\cdot t = 1 + t
    • y=1+2⋅t=1+2ty = 1 + 2\cdot t = 1 + 2t
    • z=1+3⋅t=1+3tz = 1 + 3\cdot t = 1 + 3t
  2. 计算微分项
    • dx=dt\mathrm{d}x = \mathrm{d}t
    • dy=2 dt\mathrm{d}y = 2 \, \mathrm{d}t
    • dz=3 dt\mathrm{d}z = 3 \, \mathrm{d}t
  3. 代入积分式 我们要计算三项之和：
    • 第1项 x dx→(1+t) dtx \, \mathrm{d}x \to (1+t) \, \mathrm{d}t
    • 第2项 y dy→(1+2t)⋅2 dt=(2+4t) dty \, \mathrm{d}y \to (1+2t) \cdot 2 \, \mathrm{d}t = (2+4t) \, \mathrm{d}t
    • 第3项 (x+y−1) dz(x+y-1) \, \mathrm{d}z： 先算括弧里的：(1+t)+(1+2t)−1=1+3t(1+t) + (1+2t) - 1 = 1 + 3t 再乘 dz\mathrm{d}z：(1+3t)⋅3 dt=(3+9t) dt(1+3t) \cdot 3 \, \mathrm{d}t = (3+9t) \, \mathrm{d}t
  4. 合并并积分I=∫01[(1+t)+(2+4t)+(3+9t)] dt=∫01[(1+2+3)+(1+4+9)t] dt=∫01(6+14t) dt\begin{aligned} I &= \int_0^1 [ (1+t) + (2+4t) + (3+9t) ] \, \mathrm{d}t \\ &= \int_0^1 [ (1+2+3) + (1+4+9)t ] \, \mathrm{d}t \\ &= \int_0^1 (6 + 14t) \, \mathrm{d}t \end{aligned}
    计算定积分：I=[6t+7t2]01=(6×1+7×12)−0=6+7=13I = [6t + 7t^2]_0^1 = (6 \times 1 + 7 \times 1^2) - 0 = 6 + 7 = 13

结果：13

参数化小结

参数化是解题的关键。

  • 圆/椭圆：优先用正弦/余弦参数 (tt 或 θ\theta)。
  • 直线段：优先用向量式参数 (x=x0+atx = x_0 + at)。
  • 函数曲线 (y=f(x)y=f(x))：直接把 xx 当参数。